$$$f r^{2} t^{2}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int f r^{2} t^{2}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=f r^{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{f r^{2} t^{2} d t}}} = {\color{red}{f r^{2} \int{t^{2} d t}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$f r^{2} {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=f r^{2} {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=f r^{2} {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{f r^{2} t^{2} d t} = \frac{f r^{2} t^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{f r^{2} t^{2} d t} = \frac{f r^{2} t^{3}}{3}+C$$

$$$\int f r^{2} t^{2}\, dt = \frac{f r^{2} t^{3}}{3} + C$$$A