$$$8 f t^{3}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int 8 f t^{3}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=8 f$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{3}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{8 f t^{3} d t}}} = {\color{red}{\left(8 f \int{t^{3} d t}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$8 f {\color{red}{\int{t^{3} d t}}}=8 f {\color{red}{\frac{t^{1 + 3}}{1 + 3}}}=8 f {\color{red}{\left(\frac{t^{4}}{4}\right)}}$$

したがって、

$$\int{8 f t^{3} d t} = 2 f t^{4}$$

積分定数を加える:

$$\int{8 f t^{3} d t} = 2 f t^{4}+C$$

$$$\int 8 f t^{3}\, dt = 2 f t^{4} + C$$$A