$$$e^{\sqrt[3]{x}}$$$の積分

$$$\int e^{\sqrt[3]{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt[3]{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{\frac{2}{3}}} = 3 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt[3]{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{3 u^{2} e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u^{2} e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{3 u^{2} e^{u} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \int{u^{2} e^{u} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u^{2} e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{\mu}=u^{2}$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{d\mu}=\left(u^{2}\right)^{\prime }du=2 u du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$3 {\color{red}{\int{u^{2} e^{u} d u}}}=3 {\color{red}{\left(u^{2} \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 2 u d u}\right)}}=3 {\color{red}{\left(u^{2} e^{u} - \int{2 u e^{u} d u}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ に対して適用する:

$$3 u^{2} e^{u} - 3 {\color{red}{\int{2 u e^{u} d u}}} = 3 u^{2} e^{u} - 3 {\color{red}{\left(2 \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{\mu}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$3 u^{2} e^{u} - 6 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=3 u^{2} e^{u} - 6 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=3 u^{2} e^{u} - 6 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$3 u^{2} e^{u} - 6 u e^{u} + 6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 3 u^{2} e^{u} - 6 u e^{u} + 6 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt[3]{x}$$$:

$$6 e^{{\color{red}{u}}} - 6 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} + 3 {\color{red}{u}}^{2} e^{{\color{red}{u}}} = 6 e^{{\color{red}{\sqrt[3]{x}}}} - 6 {\color{red}{\sqrt[3]{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt[3]{x}}}} + 3 {\color{red}{\sqrt[3]{x}}}^{2} e^{{\color{red}{\sqrt[3]{x}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\sqrt[3]{x}} d x} = 3 x^{\frac{2}{3}} e^{\sqrt[3]{x}} - 6 \sqrt[3]{x} e^{\sqrt[3]{x}} + 6 e^{\sqrt[3]{x}}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{\sqrt[3]{x}} d x} = 3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x} + 2\right) e^{\sqrt[3]{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\sqrt[3]{x}} d x} = 3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x} + 2\right) e^{\sqrt[3]{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt[3]{x}}\, dx = 3 \left(x^{\frac{2}{3}} - 2 \sqrt[3]{x} + 2\right) e^{\sqrt[3]{x}} + C$$$A