$$$e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$$の積分

$$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}$$

積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{g}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dg}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}={\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}={\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$u e^{u} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = u e^{u} - {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{2} \sqrt{x}$$$:

$$- e^{{\color{red}{u}}} + {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}} + {\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}} e^{{\color{red}{\sqrt{2} \sqrt{x}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \sqrt{2} \sqrt{x} e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} - e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} d x} = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}+C$$

$$$\int e^{\sqrt{2} \sqrt{x}}\, dx = \left(\sqrt{2} \sqrt{x} - 1\right) e^{\sqrt{2} \sqrt{x}} + C$$$A