$$$\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x^{2} + 1}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2} + 1} = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x}}} = {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$${\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x} = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1} d x} = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}\, dx = e^{\operatorname{atan}{\left(x \right)}} + C$$$A