$$$x e^{5} \cos{\left(x \right)}$$$の積分

$$$\int x e^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=e^{5}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{5} \int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

積分 $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$e^{5} {\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$です:

$$e^{5} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}}\right) = e^{5} \left(x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}\right)$$

したがって、

$$\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{x e^{5} \cos{\left(x \right)} d x} = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5}+C$$

$$$\int x e^{5} \cos{\left(x \right)}\, dx = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{5} + C$$$A