$$$\frac{e^{- y}}{y}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=- y$$$ とする。

すると $$$du=\left(- y\right)^{\prime }dy = - dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- y}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}$$

この積分（指数積分）には閉形式はありません:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}} = {\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- y$$$:

$$\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(- y\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{- y}}{y} d y} = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)}+C$$

$$$\int \frac{e^{- y}}{y}\, dy = \operatorname{Ei}{\left(- y \right)} + C$$$A