$$$\frac{r}{a e^{2}}$$$ の $$$a$$$ に関する積分

$$$\int \frac{r}{a e^{2}}\, da$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(a \right)}\, da = c \int f{\left(a \right)}\, da$$$ を、$$$c=\frac{r}{e^{2}}$$$ と $$$f{\left(a \right)} = \frac{1}{a}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{r}{a e^{2}} d a}}} = {\color{red}{\frac{r \int{\frac{1}{a} d a}}{e^{2}}}}$$

$$$\frac{1}{a}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{a} d a} = \ln{\left(\left|{a}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{r {\color{red}{\int{\frac{1}{a} d a}}}}{e^{2}} = \frac{r {\color{red}{\ln{\left(\left|{a}\right| \right)}}}}{e^{2}}$$

したがって、

$$\int{\frac{r}{a e^{2}} d a} = \frac{r \ln{\left(\left|{a}\right| \right)}}{e^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{r}{a e^{2}} d a} = \frac{r \ln{\left(\left|{a}\right| \right)}}{e^{2}}+C$$

$$$\int \frac{r}{a e^{2}}\, da = \frac{r \ln\left(\left|{a}\right|\right)}{e^{2}} + C$$$A