$$$e^{- x \left(a - b\right)}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- x \left(a - b\right)$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x \left(a - b\right)\right)^{\prime }dx = - (a - b) dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{du}{a - b}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{- a + b}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a + b} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a + b}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a + b} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a + b}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x \left(a - b\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a + b} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- x \left(a - b\right)\right)}}}}{- a + b}$$

したがって、

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{- x \left(a - b\right)}}{- a + b}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- x \left(a - b\right)} d x} = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b}+C$$

$$$\int e^{- x \left(a - b\right)}\, dx = \frac{e^{x \left(- a + b\right)}}{- a + b} + C$$$A