$$$e^{- t \left(a + s\right)}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt$$$ を求めよ。

$$$u=- t \left(a + s\right)$$$ とする。

すると $$$du=\left(- t \left(a + s\right)\right)^{\prime }dt = - (a + s) dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = - \frac{du}{a + s}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{- a - s}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{- a - s} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{- a - s}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{- a - s} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{- a - s}$$

次のことを思い出してください $$$u=- t \left(a + s\right)$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{- a - s} = \frac{e^{{\color{red}{\left(- t \left(a + s\right)\right)}}}}{- a - s}$$

したがって、

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{- a - s}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- t \left(a + s\right)} d t} = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s}+C$$

$$$\int e^{- t \left(a + s\right)}\, dt = - \frac{e^{- t \left(a + s\right)}}{a + s} + C$$$A