$$$e^{\frac{p^{2}}{4}}$$$の積分

$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{p}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{p}{2}\right)^{\prime }dp = \frac{dp}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dp = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

この積分（虚誤差関数）には閉形式はありません:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{p}{2}$$$:

$$\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{p}{2}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)} + C$$$A