$$$e^{3 \sqrt{x}}$$$の積分

$$$\int e^{3 \sqrt{x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=3 \sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{3}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{3}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{3 \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{9} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{2}{9}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{9} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{u e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

積分 $$$\int{u e^{u} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{d} \operatorname{dv} = \operatorname{d}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dd}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{d}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{dd}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{9}=\frac{2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{9}=\frac{2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{9}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$\frac{2 u e^{u}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{2 u e^{u}}{9} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 \sqrt{x}$$$:

$$- \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{9} + \frac{2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}}}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}} e^{{\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}}}}{9}$$

したがって、

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \sqrt{x} e^{3 \sqrt{x}}}{3} - \frac{2 e^{3 \sqrt{x}}}{9}$$

簡単化せよ:

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9}+C$$

$$$\int e^{3 \sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9} + C$$$A