$$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$ の $$$p$$$ に関する積分
入力内容
$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$ を求めよ。
解答
被積分関数を書き換える:
$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$ を、$$$c=e^{- q^{2}}$$$ と $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$
この積分（誤差関数）には閉形式はありません:
$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$
したがって、
$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$
解答
$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A