$$$e^{\frac{y}{x}}$$$ の $$$y$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{y}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dy = x du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=x$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{y}{x}$$$:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A