$$$\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=x^{6}$$$ とする。
すると $$$du=\left(x^{6}\right)^{\prime }dx = 6 x^{5} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{5} dx = \frac{du}{6}$$$ となります。
積分は次のようになります
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{\frac{u}{2}}}{u}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{6 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}{6}\right)}}$$
$$$v=\frac{u}{2}$$$ とする。
すると $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = 2 dv$$$ となります。
したがって、
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{u}{2}}}{u} d u}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6}$$
この積分（指数積分）には閉形式はありません:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{v}}{v} d v}}}}{6} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(v \right)}}}}{6}$$
次のことを思い出してください $$$v=\frac{u}{2}$$$:
$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}} \right)}}{6}$$
次のことを思い出してください $$$u=x^{6}$$$:
$$\frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}{6} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{{\color{red}{x^{6}}}}{2} \right)}}{6}$$
したがって、
$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6}+C$$
解答
$$$\int \frac{e^{\frac{x^{6}}{2}}}{x}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\frac{x^{6}}{2} \right)}}{6} + C$$$A