$$$e^{\frac{u}{v}}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$ を求めよ。

$$$w=\frac{u}{v}$$$ とする。

すると $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = v dw$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ を、$$$c=v$$$ と $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$です:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

次のことを思い出してください $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

したがって、

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A