$$$\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=e^{2 x}$$$ とする。
すると $$$du=\left(e^{2 x}\right)^{\prime }dx = 2 e^{2 x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{2 x} dx = \frac{du}{2}$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}{2}\right)}}$$
$$$u=4 \sin{\left(v \right)}$$$ とする。
すると $$$du=\left(4 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 4 \cos{\left(v \right)} dv$$$ (手順は»で確認できます)。
また、$$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$が成り立つ。
したがって、
$$$\frac{1}{\sqrt{16 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$
恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:
$$$\frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$
$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:
$$$\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{4 \cos{\left( v \right)}}$$$
したがって、
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2}$$
$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:
$$\frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$
次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$:
$$\frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}}}}{2}$$
次のことを思い出してください $$$u=e^{2 x}$$$:
$$\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{4} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{e^{2 x}}}}{4} \right)}}{2}$$
したがって、
$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}+C$$
解答
$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2} + C$$$A