$$$e^{- \frac{x}{a}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{x}{a}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{x}{a}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{a} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - a du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{x}{a}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- a$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- a e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- a \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- a {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - a {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{x}{a}$$$:

$$- a e^{{\color{red}{u}}} = - a e^{{\color{red}{\left(- \frac{x}{a}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{x}{a}} d x} = - a e^{- \frac{x}{a}}+C$$

$$$\int e^{- \frac{x}{a}}\, dx = - a e^{- \frac{x}{a}} + C$$$A