$$$a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=a d$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = {\color{red}{a d \int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \left|{a}\right| du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$a d {\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\left|{a}\right|$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ に対して適用する:

$$a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}} = a d {\color{red}{\left|{a}\right| \int{e^{u^{2}} d u}}}$$

この積分（虚誤差関数）には閉形式はありません:

$$a d \left|{a}\right| {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = a d \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2} + C$$$A