$$$e^{- \frac{5 x}{6}}$$$の積分

$$$\int e^{- \frac{5 x}{6}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=- \frac{5 x}{6}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- \frac{5 x}{6}\right)^{\prime }dx = - \frac{5 dx}{6}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - \frac{6 du}{5}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{e^{- \frac{5 x}{6}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{6 e^{u}}{5}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=- \frac{6}{5}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{6 e^{u}}{5}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{6 \int{e^{u} d u}}{5}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{5} = - \frac{6 {\color{red}{e^{u}}}}{5}$$

次のことを思い出してください $$$u=- \frac{5 x}{6}$$$:

$$- \frac{6 e^{{\color{red}{u}}}}{5} = - \frac{6 e^{{\color{red}{\left(- \frac{5 x}{6}\right)}}}}{5}$$

したがって、

$$\int{e^{- \frac{5 x}{6}} d x} = - \frac{6 e^{- \frac{5 x}{6}}}{5}$$

積分定数を加える:

$$\int{e^{- \frac{5 x}{6}} d x} = - \frac{6 e^{- \frac{5 x}{6}}}{5}+C$$

$$$\int e^{- \frac{5 x}{6}}\, dx = - \frac{6 e^{- \frac{5 x}{6}}}{5} + C$$$A