$$$\frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

双曲線関数を指数関数で表せ:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{34 \left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right)} d x}}}$$

被積分関数を簡単化する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{34 \left(\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{17 \left(e^{x} + e^{- x}\right)} d x}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{17}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{17 \left(e^{x} + e^{- x}\right)} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}}{17}\right)}}$$

Simplify:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}}}}{17} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}}}{17}$$

$$$u=e^{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{x} dx = du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}}}{17} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{17}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ です:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{17} = \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{17}$$

次のことを思い出してください $$$u=e^{x}$$$:

$$\frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{17} = \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}}{17}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}}{17}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}} d x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}}{17}+C$$

$$$\int \frac{1}{34 \cosh{\left(x \right)}}\, dx = \frac{\operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}}{17} + C$$$A