$$$- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}$$$ の $$$t$$$ に関する積分

$$$\int \left(- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dt$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{a^{2}} d t} - \int{b^{2} t d t}\right)}}$$

$$$c=\frac{1}{a^{2}}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dt = c t$$$ を適用する:

$$- \int{b^{2} t d t} + {\color{red}{\int{\frac{1}{a^{2}} d t}}} = - \int{b^{2} t d t} + {\color{red}{\frac{t}{a^{2}}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=b^{2}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t$$$ に対して適用する:

$$- {\color{red}{\int{b^{2} t d t}}} + \frac{t}{a^{2}} = - {\color{red}{b^{2} \int{t d t}}} + \frac{t}{a^{2}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- b^{2} {\color{red}{\int{t d t}}} + \frac{t}{a^{2}}=- b^{2} {\color{red}{\frac{t^{1 + 1}}{1 + 1}}} + \frac{t}{a^{2}}=- b^{2} {\color{red}{\left(\frac{t^{2}}{2}\right)}} + \frac{t}{a^{2}}$$

したがって、

$$\int{\left(- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}\right)d t} = - \frac{b^{2} t^{2}}{2} + \frac{t}{a^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}\right)d t} = - \frac{b^{2} t^{2}}{2} + \frac{t}{a^{2}}+C$$

$$$\int \left(- b^{2} t + \frac{1}{a^{2}}\right)\, dt = \left(- \frac{b^{2} t^{2}}{2} + \frac{t}{a^{2}}\right) + C$$$A