$$$\cot{\left(v \right)}$$$の積分

$$$\int \cot{\left(v \right)}\, dv$$$ を求めよ。

余接関数を$$$\cot\left(v\right)=\frac{\cos\left(v\right)}{\sin\left(v\right)}$$$として書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(v \right)} d v}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{\sin{\left(v \right)}} d v}}}$$

$$$u=\sin{\left(v \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(v \right)} dv = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{\sin{\left(v \right)}} d v}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(v \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\cot{\left(v \right)} d v} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(v \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot{\left(v \right)} d v} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(v \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(v \right)}\, dv = \ln\left(\left|{\sin{\left(v \right)}}\right|\right) + C$$$A