$$$\cot{\left(\theta \right)}$$$の積分

$$$\int \cot{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$ を求めよ。

余接関数を$$$\cot\left(\theta\right)=\frac{\cos\left(\theta\right)}{\sin\left(\theta\right)}$$$として書き換えなさい:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}} d \theta}}}$$

$$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sin{\left(\theta \right)}\right)^{\prime }d\theta = \cos{\left(\theta \right)} d\theta$$$（手順は»で確認できます）、$$$\cos{\left(\theta \right)} d\theta = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\theta \right)}}{\sin{\left(\theta \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sin{\left(\theta \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(\theta \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\cot{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(\theta \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cot{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(\theta \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(\theta \right)}\, d\theta = \ln\left(\left|{\sin{\left(\theta \right)}}\right|\right) + C$$$A