$$$\frac{\cos{\left(u \right)}}{v}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{v}\, du$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{v}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{v} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{v}}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{v} = \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{v}$$

したがって、

$$\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{v} d u} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{v}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{v} d u} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{v}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{v}\, du = \frac{\sin{\left(u \right)}}{v} + C$$$A