$$$\cos{\left(\frac{u}{v} \right)}$$$ の $$$u$$$ に関する積分

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du$$$ を求めよ。

$$$w=\frac{u}{v}$$$ とする。

すると $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = v dw$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$ を、$$$c=v$$$ と $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}} = {\color{red}{v \int{\cos{\left(w \right)} d w}}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}} = v {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v \sin{\left({\color{red}{w}} \right)} = v \sin{\left({\color{red}{\frac{u}{v}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)} + C$$$A