$$$\cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\sqrt{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{2 u \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u \cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

積分 $$$\int{u \cos{\left(u \right)} d u}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{\kappa} \operatorname{dv} = \operatorname{\kappa}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\kappa}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{\kappa}=u$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(u \right)} du$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{d\kappa}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(u \right)} d u}=\sin{\left(u \right)}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$2 {\color{red}{\int{u \cos{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(u \cdot \sin{\left(u \right)}-\int{\sin{\left(u \right)} \cdot 1 d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \sin{\left(u \right)} - \int{\sin{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$2 u \sin{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 2 u \sin{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\sqrt{x}$$$:

$$2 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} + 2 {\color{red}{u}} \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \cos{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)} + 2 {\color{red}{\sqrt{x}}} \sin{\left({\color{red}{\sqrt{x}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + 2 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\sqrt{x} \right)} d x} = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right)+C$$

$$$\int \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\, dx = 2 \left(\sqrt{x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)} + \cos{\left(\sqrt{x} \right)}\right) + C$$$A