$$$\cos^{4}{\left(7 x \right)}$$$の積分
入力内容
$$$\int \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。
解答
$$$u=7 x$$$ とする。
すると $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{7}$$$ となります。
したがって、
$${\color{red}{\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{7} d u}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{7}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{4}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{4}{\left(u \right)}}{7} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{4}{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}$$
冪低減公式 $$$\cos^{4}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:
$$\frac{{\color{red}{\int{\cos^{4}{\left(u \right)} d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{7}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = 4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3$$$ に対して適用する:
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 u \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d u}}}}{7} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}{8}\right)}}}{7}$$
項別に積分せよ:
$$\frac{{\color{red}{\int{\left(4 \cos{\left(2 u \right)} + \cos{\left(4 u \right)} + 3\right)d u}}}}{56} = \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d u} + \int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u} + \int{\cos{\left(4 u \right)} d u}\right)}}}{56}$$
$$$c=3$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:
$$\frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{3 d u}}}}{56} = \frac{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(3 u\right)}}}{56}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$$$ に対して適用する:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{56}$$
$$$v=2 u$$$ とする。
すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。
積分は次のようになります
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{14} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{14}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{14} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{14}$$
余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{28} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{28}$$
次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{28} = \frac{3 u}{56} + \frac{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}{56} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{28}$$
$$$v=4 u$$$ とする。
すると $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{4}$$$ となります。
したがって、
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{56}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{56} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}}{56}$$
余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{224} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{224}$$
次のことを思い出してください $$$v=4 u$$$:
$$\frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{224} = \frac{3 u}{56} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{28} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 u\right)}} \right)}}{224}$$
次のことを思い出してください $$$u=7 x$$$:
$$\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{u}} \right)}}{224} + \frac{3 {\color{red}{u}}}{56} = \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(4 {\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{224} + \frac{3 {\color{red}{\left(7 x\right)}}}{56}$$
したがって、
$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(14 x \right)}}{28} + \frac{\sin{\left(28 x \right)}}{224}$$
簡単化せよ:
$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224}$$
積分定数を加える:
$$\int{\cos^{4}{\left(7 x \right)} d x} = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224}+C$$
解答
$$$\int \cos^{4}{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{84 x + 8 \sin{\left(14 x \right)} + \sin{\left(28 x \right)}}{224} + C$$$A