$$$\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{6}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{6}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{6} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 3 \sqrt{2} du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{3 \sqrt{2} \cos{\left(u^{2} \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=3 \sqrt{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u^{2} \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{3 \sqrt{2} \cos{\left(u^{2} \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(3 \sqrt{2} \int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}\right)}}$$

この積分（フレネル余弦積分）には閉形式はありません:

$$3 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}} = 3 \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{6}$$$:

$$3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right) = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{6}\right)}}}{\sqrt{\pi}}\right)$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x} = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)} d x} = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right)+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{x^{2}}{18} \right)}\, dx = 3 \sqrt{\pi} C\left(\frac{x}{3 \sqrt{\pi}}\right) + C$$$A