$$$\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\frac{x}{4}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{x}{4}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{4}$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = 4 du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{4 \cos{\left(u \right)} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 \cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$4 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 4 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{x}{4}$$$:

$$4 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 4 \sin{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{4}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} d x} = 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)} d x} = 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{x}{4} \right)}\, dx = 4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)} + C$$$A