$$$\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$$の積分

$$$\int \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\, dx$$$ を求めよ。

積分 $$$\int{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}} dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x^{2}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - \int{\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x}$$$ に対して適用する:

$$x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - {\color{red}{\int{\frac{2 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x} d x}}} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - {\color{red}{\left(2 \int{\frac{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{2}{x}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{2}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{2}{x^{2}} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$$x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}{x} d x}}} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}$$$ に対して適用する:

$$x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)d u}}} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}\right)}}$$

この積分（正弦積分）には閉形式はありません:

$$x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\frac{2}{x}$$$:

$$x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\left(\frac{2}{x}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} d x} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{x} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos{\left(\frac{2}{x} \right)} d x} = x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{x} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\, dx = \left(x \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + 2 \operatorname{Si}{\left(\frac{2}{x} \right)}\right) + C$$$A