$$$\frac{a}{v}$$$ の $$$v$$$ に関する積分

$$$\int \frac{a}{v}\, dv$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=a$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{a}{v} d v}}} = {\color{red}{a \int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$a {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = a {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{a}{v} d v} = a \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{a}{v} d v} = a \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{a}{v}\, dv = a \ln\left(\left|{v}\right|\right) + C$$$A