$$$s x^{- m} x^{n}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{s x^{- m} x^{n} d x}=\int{s x^{- m + n} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=s$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{- m + n}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{s x^{- m + n} d x}}} = {\color{red}{s \int{x^{- m + n} d x}}}$$

$$$n=- m + n$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$s {\color{red}{\int{x^{- m + n} d x}}}=s {\color{red}{\frac{x^{\left(- m + n\right) + 1}}{\left(- m + n\right) + 1}}}=s {\color{red}{\frac{x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}}}$$

したがって、

$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}$$

積分定数を加える:

$$\int{s x^{- m + n} d x} = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1}+C$$

$$$\int s x^{- m} x^{n}\, dx = \frac{s x^{- m + n + 1}}{- m + n + 1} + C$$$A