$$$9 \sqrt[8]{x}$$$の積分

$$$\int 9 \sqrt[8]{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=9$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[8]{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{9 \sqrt[8]{x} d x}}} = {\color{red}{\left(9 \int{\sqrt[8]{x} d x}\right)}}$$

$$$n=\frac{1}{8}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$9 {\color{red}{\int{\sqrt[8]{x} d x}}}=9 {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{8}} d x}}}=9 {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{8} + 1}}{\frac{1}{8} + 1}}}=9 {\color{red}{\left(\frac{8 x^{\frac{9}{8}}}{9}\right)}}$$

したがって、

$$\int{9 \sqrt[8]{x} d x} = 8 x^{\frac{9}{8}}$$

積分定数を加える:

$$\int{9 \sqrt[8]{x} d x} = 8 x^{\frac{9}{8}}+C$$

$$$\int 9 \sqrt[8]{x}\, dx = 8 x^{\frac{9}{8}} + C$$$A