$$$6 \cos{\left(3 t \right)}$$$の積分

$$$\int 6 \cos{\left(3 t \right)}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=6$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(3 t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{6 \cos{\left(3 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\left(6 \int{\cos{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

$$$u=3 t$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$6 {\color{red}{\int{\cos{\left(3 t \right)} d t}}} = 6 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$6 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 t$$$:

$$2 \sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \sin{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{6 \cos{\left(3 t \right)} d t} = 2 \sin{\left(3 t \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{6 \cos{\left(3 t \right)} d t} = 2 \sin{\left(3 t \right)}+C$$

$$$\int 6 \cos{\left(3 t \right)}\, dt = 2 \sin{\left(3 t \right)} + C$$$A