$$$\frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}}$$$の積分

$$$\int \frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=6$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{3}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}} d x}}} = {\color{red}{\left(6 \int{\frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{3}} d x}\right)}}$$

$$$u=3 x - 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$$6 {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{3}} d x}}} = 6 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u^{3}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{3}}$$$ に対して適用する:

$$6 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u^{3}} d u}}} = 6 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}{3}\right)}}$$

$$$n=-3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{3}} d u}}}=2 {\color{red}{\int{u^{-3} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{-3 + 1}}{-3 + 1}}}=2 {\color{red}{\left(- \frac{u^{-2}}{2}\right)}}=2 {\color{red}{\left(- \frac{1}{2 u^{2}}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x - 2$$$:

$$- {\color{red}{u}}^{-2} = - {\color{red}{\left(3 x - 2\right)}}^{-2}$$

したがって、

$$\int{\frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}} d x} = - \frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}} d x} = - \frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{2}}+C$$

$$$\int \frac{6}{\left(3 x - 2\right)^{3}}\, dx = - \frac{1}{\left(3 x - 2\right)^{2}} + C$$$A