$$$5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}$$$の積分

$$$\int 5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}\, ds$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(s \right)}\, ds = c \int f{\left(s \right)}\, ds$$$ を、$$$c=5$$$ と $$$f{\left(s \right)} = e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}}} = {\color{red}{\left(5 \int{e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}\right)}}$$

$$$u=5 s$$$ とする。

すると $$$du=\left(5 s\right)^{\prime }ds = 5 ds$$$（手順は»で確認できます）、$$$ds = \frac{du}{5}$$$ となります。

したがって、

$$5 {\color{red}{\int{e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s}}} = 5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}}{5} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{5}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}$$$ に対して適用する:

$$5 {\color{red}{\int{\frac{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}}{5} d u}}} = 5 {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)} d u}}{5}\right)}}$$

$$$v=e^{u}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(e^{u}\right)^{\prime }du = e^{u} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$e^{u} du = dv$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(v \right)} d v} = - \cos{\left(v \right)}$$$です:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(v \right)} d v}}} = {\color{red}{\left(- \cos{\left(v \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$v=e^{u}$$$:

$$- \cos{\left({\color{red}{v}} \right)} = - \cos{\left({\color{red}{e^{u}}} \right)}$$

次のことを思い出してください $$$u=5 s$$$:

$$- \cos{\left(e^{{\color{red}{u}}} \right)} = - \cos{\left(e^{{\color{red}{\left(5 s\right)}}} \right)}$$

したがって、

$$\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s} = - \cos{\left(e^{5 s} \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)} d s} = - \cos{\left(e^{5 s} \right)}+C$$

$$$\int 5 e^{5 s} \sin{\left(e^{5 s} \right)}\, ds = - \cos{\left(e^{5 s} \right)} + C$$$A