$$$\frac{5}{2 x - 2}$$$の積分

$$$\int \frac{5}{2 x - 2}\, dx$$$ を求めよ。

被積分関数を簡単化する:

$${\color{red}{\int{\frac{5}{2 x - 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{5}{2 \left(x - 1\right)} d x}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{5}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{5}{2 \left(x - 1\right)} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{5 \int{\frac{1}{x - 1} d x}}{2}\right)}}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{5 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}}}{2} = \frac{5 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{5 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{5 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$\frac{5 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = \frac{5 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{5}{2 x - 2} d x} = \frac{5 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{5}{2 x - 2} d x} = \frac{5 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{5}{2 x - 2}\, dx = \frac{5 \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right)}{2} + C$$$A