$$$4 y e^{- y^{2}}$$$の積分

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy$$$ を求めよ。

$$$u=- y^{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(- y^{2}\right)^{\prime }dy = - 2 y dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$y dy = - \frac{du}{2}$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{4 y e^{- y^{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=- y^{2}$$$:

$$- 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 e^{{\color{red}{\left(- y^{2}\right)}}}$$

したがって、

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}$$

積分定数を加える:

$$\int{4 y e^{- y^{2}} d y} = - 2 e^{- y^{2}}+C$$

$$$\int 4 y e^{- y^{2}}\, dy = - 2 e^{- y^{2}} + C$$$A