$$$4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}$$$の積分

$$$\int \left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{4 x^{3} d x} - \int{\frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} d x}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} d x}}} = \int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}$$$ に対して適用する:

$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}} = \int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

公式 $$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ を用いて余弦を正弦で表し、次に2倍角の公式 $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ を用いて正弦を書き換えなさい。:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

分子と分母に$$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$を掛ける:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$ とする。

すると $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$ となります。

したがって、

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ です:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ に対して適用する:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\int{4 x^{3} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\left(4 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

$$$n=3$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x} = x^{4} - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x} = x^{4} - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = \left(x^{4} - \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A