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$$$4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int 4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4 \sqrt{5}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{\frac{5}{2}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \sqrt{5} \int{x^{\frac{5}{2}} d x}\right)}}$$
$$$n=\frac{5}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$4 \sqrt{5} {\color{red}{\int{x^{\frac{5}{2}} d x}}}=4 \sqrt{5} {\color{red}{\frac{x^{1 + \frac{5}{2}}}{1 + \frac{5}{2}}}}=4 \sqrt{5} {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}\right)}}$$
したがって、
$$\int{4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}} d x} = \frac{8 \sqrt{5} x^{\frac{7}{2}}}{7}$$
積分定数を加える:
$$\int{4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}} d x} = \frac{8 \sqrt{5} x^{\frac{7}{2}}}{7}+C$$
解答
$$$\int 4 \sqrt{5} x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{8 \sqrt{5} x^{\frac{7}{2}}}{7} + C$$$A