$$$\frac{4 x}{x - 6}$$$の積分

$$$\int \frac{4 x}{x - 6}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x - 6}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{4 x}{x - 6} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{x}{x - 6} d x}\right)}}$$

分数を変形して分解する:

$$4 {\color{red}{\int{\frac{x}{x - 6} d x}}} = 4 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{6}{x - 6}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$$4 {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{6}{x - 6}\right)d x}}} = 4 {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{6}{x - 6} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$4 \int{\frac{6}{x - 6} d x} + 4 {\color{red}{\int{1 d x}}} = 4 \int{\frac{6}{x - 6} d x} + 4 {\color{red}{x}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=6$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 6}$$$ に対して適用する:

$$4 x + 4 {\color{red}{\int{\frac{6}{x - 6} d x}}} = 4 x + 4 {\color{red}{\left(6 \int{\frac{1}{x - 6} d x}\right)}}$$

$$$u=x - 6$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 6\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

したがって、

$$4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 6} d x}}} = 4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$4 x + 24 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = 4 x + 24 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 6$$$:

$$4 x + 24 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 6\right)}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{4 x}{x - 6} d x} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{x - 6}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{4 x}{x - 6} d x} = 4 x + 24 \ln{\left(\left|{x - 6}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{4 x}{x - 6}\, dx = \left(4 x + 24 \ln\left(\left|{x - 6}\right|\right)\right) + C$$$A