$$$4 t e^{t}$$$の積分

$$$\int 4 t e^{t}\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t e^{t}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 t e^{t} d t}}} = {\color{red}{\left(4 \int{t e^{t} d t}\right)}}$$

積分 $$$\int{t e^{t} d t}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=t$$$ と $$$\operatorname{dv}=e^{t} dt$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{e^{t} d t}=e^{t}$$$（手順は»を参照）。

したがって、

$$4 {\color{red}{\int{t e^{t} d t}}}=4 {\color{red}{\left(t \cdot e^{t}-\int{e^{t} \cdot 1 d t}\right)}}=4 {\color{red}{\left(t e^{t} - \int{e^{t} d t}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{t} d t} = e^{t}$$$です:

$$4 t e^{t} - 4 {\color{red}{\int{e^{t} d t}}} = 4 t e^{t} - 4 {\color{red}{e^{t}}}$$

したがって、

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 t e^{t} - 4 e^{t}$$

簡単化せよ:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}$$

積分定数を加える:

$$\int{4 t e^{t} d t} = 4 \left(t - 1\right) e^{t}+C$$

$$$\int 4 t e^{t}\, dt = 4 \left(t - 1\right) e^{t} + C$$$A