$$$4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}$$$の積分

$$$\int 4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4 \pi$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \pi \int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=\pi x$$$ とする。

すると $$$du=\left(\pi x\right)^{\prime }dx = \pi dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{\pi}$$$ となります。

したがって、

$$4 \pi {\color{red}{\int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}}} = 4 \pi {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{\pi}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$4 \pi {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = 4 \pi {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$4 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\pi x$$$:

$$- 4 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 4 \cos{\left({\color{red}{\pi x}} \right)}$$

したがって、

$$\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x} = - 4 \cos{\left(\pi x \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x} = - 4 \cos{\left(\pi x \right)}+C$$

$$$\int 4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = - 4 \cos{\left(\pi x \right)} + C$$$A