$$$\frac{4}{15 x^{2} + 27}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{4}{15 x^{2} + 27}\, dx$$$ を求めよ。
解答
被積分関数を簡単化する:
$${\color{red}{\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4}{3 \left(5 x^{2} + 9\right)} d x}}}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{4}{3}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{5 x^{2} + 9}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{4}{3 \left(5 x^{2} + 9\right)} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{4 \int{\frac{1}{5 x^{2} + 9} d x}}{3}\right)}}$$
$$$u=\frac{\sqrt{5}}{3} x$$$ とする。
すると $$$du=\left(\frac{\sqrt{5}}{3} x\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{5}}{3} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{3 \sqrt{5} du}{5}$$$ となります。
したがって、
$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{5 x^{2} + 9} d x}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5}}{15 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}}{3}$$
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{\sqrt{5}}{15}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$ に対して適用する:
$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5}}{15 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{5} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{15}\right)}}}{3}$$
$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ です:
$$\frac{4 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{45} = \frac{4 \sqrt{5} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{45}$$
次のことを思い出してください $$$u=\frac{\sqrt{5}}{3} x$$$:
$$\frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{45} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\frac{\sqrt{5}}{3} x}} \right)}}{45}$$
したがって、
$$\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45}+C$$
解答
$$$\int \frac{4}{15 x^{2} + 27}\, dx = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45} + C$$$A