$$$28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)}$$$の積分

$$$\int 28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=28 \sin{\left(3 \right)}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(7 x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(28 \sin{\left(3 \right)} \int{x \cos{\left(7 x \right)} d x}\right)}}$$

積分 $$$\int{x \cos{\left(7 x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=x$$$ と $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(7 x \right)} dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(7 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}$$$（手順は»を参照）。

この積分は次のように書き換えられる

$$28 \sin{\left(3 \right)} {\color{red}{\int{x \cos{\left(7 x \right)} d x}}}=28 \sin{\left(3 \right)} {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7}-\int{\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7} \cdot 1 d x}\right)}}=28 \sin{\left(3 \right)} {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \int{\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7} d x}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{7}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$$$ に対して適用する:

$$28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(7 x \right)}}{7} d x}}}\right) = 28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(7 x \right)} d x}}{7}\right)}}\right)$$

$$$u=7 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(7 x\right)^{\prime }dx = 7 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{7}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(7 x \right)} d x}}}}{7}\right) = 28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{7} d u}}}}{7}\right)$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{7}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{7} d u}}}}{7}\right) = 28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{7}\right)}}}{7}\right)$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{49}\right) = 28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{49}\right)$$

次のことを思い出してください $$$u=7 x$$$:

$$28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{49}\right) = 28 \sin{\left(3 \right)} \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(7 x\right)}} \right)}}{49}\right)$$

したがって、

$$\int{28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = 28 \left(\frac{x \sin{\left(7 x \right)}}{7} + \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{49}\right) \sin{\left(3 \right)}$$

簡単化せよ:

$$\int{28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{4 \left(7 x \sin{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}\right) \sin{\left(3 \right)}}{7}$$

積分定数を加える:

$$\int{28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{4 \left(7 x \sin{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}\right) \sin{\left(3 \right)}}{7}+C$$

$$$\int 28 x \sin{\left(3 \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{4 \left(7 x \sin{\left(7 x \right)} + \cos{\left(7 x \right)}\right) \sin{\left(3 \right)}}{7} + C$$$A