$$$3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)$$$の積分

$$$\int 3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x^{3} - 8$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x^{3} - 8\right)^{\prime }dx = 6 x^{2} dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$x^{2} dx = \frac{du}{6}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e u}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{e}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = u$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e u}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{e \int{u d u}}{2}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{e {\color{red}{\int{u d u}}}}{2}=\frac{e {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{2}=\frac{e {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{2}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x^{3} - 8$$$:

$$\frac{e {\color{red}{u}}^{2}}{4} = \frac{e {\color{red}{\left(2 x^{3} - 8\right)}}^{2}}{4}$$

したがって、

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = \frac{e \left(2 x^{3} - 8\right)^{2}}{4}$$

簡単化せよ:

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = e \left(x^{3} - 4\right)^{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right) d x} = e \left(x^{3} - 4\right)^{2}+C$$

$$$\int 3 e x^{2} \left(2 x^{3} - 8\right)\, dx = e \left(x^{3} - 4\right)^{2} + C$$$A