$$$3 x^{23} - 7$$$の積分

$$$\int \left(3 x^{23} - 7\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(3 x^{23} - 7\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{7 d x} + \int{3 x^{23} d x}\right)}}$$

$$$c=7$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\int{3 x^{23} d x} - {\color{red}{\int{7 d x}}} = \int{3 x^{23} d x} - {\color{red}{\left(7 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{23}$$$ に対して適用する:

$$- 7 x + {\color{red}{\int{3 x^{23} d x}}} = - 7 x + {\color{red}{\left(3 \int{x^{23} d x}\right)}}$$

$$$n=23$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 7 x + 3 {\color{red}{\int{x^{23} d x}}}=- 7 x + 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 23}}{1 + 23}}}=- 7 x + 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{24}}{24}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(3 x^{23} - 7\right)d x} = \frac{x^{24}}{8} - 7 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(3 x^{23} - 7\right)d x} = \frac{x \left(x^{23} - 56\right)}{8}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(3 x^{23} - 7\right)d x} = \frac{x \left(x^{23} - 56\right)}{8}+C$$

$$$\int \left(3 x^{23} - 7\right)\, dx = \frac{x \left(x^{23} - 56\right)}{8} + C$$$A