$$$\frac{3 x}{3 x - 2}$$$の積分

$$$\int \frac{3 x}{3 x - 2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=3$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{3 x - 2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{x}{3 x - 2} d x}\right)}}$$

被積分関数の分子を$$$x=\frac{1}{3}\left(3 x - 2\right)+\frac{2}{3}$$$として書き換え、分数を分解する:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{x}{3 x - 2} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$$3 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)}\right)d x}}} = 3 {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{3} d x} + \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x}\right)}}$$

$$$c=\frac{1}{3}$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$3 \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x} + 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{3} d x}}} = 3 \int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x} + 3 {\color{red}{\left(\frac{x}{3}\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{2}{3}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{3 x - 2}$$$ に対して適用する:

$$x + 3 {\color{red}{\int{\frac{2}{3 \left(3 x - 2\right)} d x}}} = x + 3 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}{3}\right)}}$$

$$$u=3 x - 2$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 x - 2\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{3}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 x - 2} d x}}} = x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$$x + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{3 u} d u}}} = x + 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{3}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$x + \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = x + \frac{2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 x - 2$$$:

$$x + \frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(3 x - 2\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{3 x}{3 x - 2} d x} = x + \frac{2 \ln{\left(\left|{3 x - 2}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{3 x}{3 x - 2}\, dx = \left(x + \frac{2 \ln\left(\left|{3 x - 2}\right|\right)}{3}\right) + C$$$A