$$$150 - 60 x$$$の積分

$$$\int \left(150 - 60 x\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(150 - 60 x\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{150 d x} - \int{60 x d x}\right)}}$$

$$$c=150$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{60 x d x} + {\color{red}{\int{150 d x}}} = - \int{60 x d x} + {\color{red}{\left(150 x\right)}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=60$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x$$$ に対して適用する:

$$150 x - {\color{red}{\int{60 x d x}}} = 150 x - {\color{red}{\left(60 \int{x d x}\right)}}$$

$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$150 x - 60 {\color{red}{\int{x d x}}}=150 x - 60 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=150 x - 60 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(150 - 60 x\right)d x} = - 30 x^{2} + 150 x$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(150 - 60 x\right)d x} = 30 x \left(5 - x\right)$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(150 - 60 x\right)d x} = 30 x \left(5 - x\right)+C$$

$$$\int \left(150 - 60 x\right)\, dx = 30 x \left(5 - x\right) + C$$$A